Matemática discreta Ejemplos

$12 x^{2} + 12 x - 240$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 8, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 16, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 40, \pm 48, \pm 60, \pm 80, \pm 120, \pm 240$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{12}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{4}, \pm \frac{5}{6}, \pm \frac{5}{12}, \pm 6, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm 10, \pm \frac{10}{3}, \pm 12, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}, \pm 16, \pm \frac{16}{3}, \pm 20, \pm \frac{20}{3}, \pm 24, \pm 30, \pm 40, \pm \frac{40}{3}, \pm 48, \pm 60, \pm 80, \pm \frac{80}{3}, \pm 120, \pm 240$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$12 {(4)}^{2} + 12 (4) - 240$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$12 \cdot 16 + 12 (4) - 240$

Paso 4.1.2

Multiplica $12$ por $16$ .

$192 + 12 (4) - 240$

Paso 4.1.3

Multiplica $12$ por $4$ .

$192 + 48 - 240$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $192$ y $48$ .

$240 - 240$

Paso 4.2.2

Resta $240$ de $240$ .

$0$

Paso 5

Como $4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{12 x^{2} + 12 x - 240}{x - 4}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$4$	$12$	$12$	$- 240$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(12)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$4$	$12$	$12$	$- 240$

	$12$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(12)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(48)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(12)$ .

$4$	$12$	$12$	$- 240$
		$48$
	$12$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$12$	$12$	$- 240$
		$48$
	$12$	$60$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(60)$ por el divisor $(4)$ y coloca el resultado de $(240)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 240)$ .

$4$	$12$	$12$	$- 240$
		$48$	$240$
	$12$	$60$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$4$	$12$	$12$	$- 240$
		$48$	$240$
	$12$	$60$	$0$

Paso 6.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(12) x + 60$

Paso 6.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$12 x + 60$

Paso 7

Factoriza $12$ de $12 x + 60$ .

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Paso 7.1

Factoriza $12$ de $12 x$ .

$(x - 4) (12 (x) + 60)$

Paso 7.2

Factoriza $12$ de $60$ .

$(x - 4) (12 x + 12 \cdot 5)$

Paso 7.3

Factoriza $12$ de $12 x + 12 \cdot 5$ .

$(x - 4) (12 (x + 5))$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2} + 12 x - 240$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 12 x - 240 = 0$

Paso 8.1.2

Factoriza $12$ de $12 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (x) - 240 = 0$

Paso 8.1.3

Factoriza $12$ de $- 240$ .

$12 (x^{2}) + 12 x + 12 \cdot - 20 = 0$

Paso 8.1.4

Factoriza $12$ de $12 (x^{2}) + 12 x$ .

$12 (x^{2} + x) + 12 \cdot - 20 = 0$

Paso 8.1.5

Factoriza $12$ de $12 (x^{2} + x) + 12 \cdot - 20$ .

$12 (x^{2} + x - 20) = 0$

Paso 8.2

Factoriza.

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Paso 8.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 20$ con el método AC.

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Paso 8.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 20$ y cuya suma es $1$ .

$- 4, 5$

Paso 8.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$12 ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 (x - 4) (x + 5) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 10

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 10.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 11

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 11.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 (x - 4) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 5$

Paso 13